TENTTI 14.12.1999

1. Selvitä lyhyesti, noin 10-20 sanalla tai matemaattisella määritelmällä, seuraavat käsitteet tai lyhenteet: 6p.
   (i) 4-naapurit, 8-naapurit, m-naapurit
   (ii) Machin nauhat
   (iii) kromaattisuusdiagrammi
   (iv) Wiener-suodatus
   (v) Lloyd-Max-kvantisoija
   (vi) Hough-muunnos
2. (i) Mikä on N x N -kokoisen kuvan f(x, y) diskreetti Fourier-muunnos F(u, v)? (ii) Entä 3 x 3 -kokoisen keskiarvoistavan maskin diskreetti Fourier-muunnos H(u, v) N x N -kokoiselle kuvalle? (iii) Osoita edellisen kohdan tuloksen perusteella, että kyse on alipäästösuotimesta. (iv) Tutki, missä uv-tason osissa mainitun suotimen vaihekulma ø(u, v) /= 0. (v) Hahmottele uv-tasossa, mikä on kyseisen suotimen rajataajuus u₀, v₀ määritelmällä H²(u₀,v₀) = 0,5H²(0,0). (vi) Miten tulkitset edellisen kohdan tulosta suhteessa käsitykseesi siitä, kuinka paljon mainitun kaltainen suodin poistaa kuvista merkittäviä yksityiskohtia? 6p.

3. Tutkitaan geometriavirheen korjausta spatiaalisella muunnoksella ja harmaatasointerpolaatiolla. (i) Lausu yleisessä tapauksessa kolmionmuotoisen alueen sisällä tehtävä bilineaarinen spatiaalinen muunnos = (r(x,y), s(x,y)), missä xy-koordinaatisto kuuluu alkuperäiselle kuvalle ja -koordinaatisto geometrisesti vääristyneelle kuvalle. (ii) Tiedetään, että alkuperäisen kuvan xy-kalibraatiopisteitä (0, 0), (4, 1) ja (1, 4) vastaavat vääristyneessä kuvassa -koordinaatit (0.20,0.30), (3.85, 0.65) ja (1.30, 4.25). Ratkaise näiden tietojen perusteella bilineaariset muunnokset  = r(x, y) ja  = s(x, y). Laske lisäksi xy-pisteen (2, 2) vastinpiste -koordinaatistossa. (iii) Alla olevassa kuvassa näkyy harmaasävyarvot osasta edellä mainittua vääristynyttä kuvaa. Piirrä -koordinaatistoon edellisen kohdan kalibraatiopisteiden määräämän kolmion alueeseen kuuluvien xy-pisteiden ip-kuvat. (iv) Lausu yleisessä muodossa kolmen tunnetun pikselin harmaatasoihin perustuva bilineaarinen interpolointi v (, ). (v) Laske xy-pisteen (2, 2) interpoloitu harmaatasoarvo käyttäen vastaavan -pisteen kolmea lähintä tunnettua harmaa-arvoa. (vi) Arvioi geometriakorjauksen toimivuutta ja laskennallista raskautta tässä esitetyssä kolmioihin perustuvassa menetelmässä ja vastaavassa nelikulmioihin perustuvassa menetelmässä. 6p.

   4 3 2 1 0	4 5 7 8 9 3 6 6 8 8 3 5 7 9 7 3 5 8 9 8 2 4 6 8 8
   	0 1 2 3 4

4. Kuvapikseleiden luokitteluun käytetyt ikkunat virittävät kaksi aliavaruutta L₁ ja L₂ seuraavasti:

	t2a = 1 -1 1 -1
t1 = 1 -1 -1 1	t2b = 1 1 -1 -1	f = 0,2 0,7 0,5 0,1
aliavaruus L1	aliavaruus L2	luokiteltava vektori

(i) Mitä kuvan paikallisia ominaisuuksia aliavaruudet kuvaavat?
(ii) Kumpaan luokkaan esimerkin luokiteltava vektori kuuluu?
(iii) Esitä projektio aliavaruudelle yleisessä muodossa, jossa luokiteltavan vektorin dimensionaalisuus on n ja aliavaruuden dimensionaalisuus d.
(iv) Osoita, että annetut aliavaruusmaskit ovat ortogonaalisia.
(v) Millainen olisi neljäs maski, joka olisi ortogonaalinen muihin nähden?
(vi) Vertaile toisiinsa vektorin ja aliavaruuden välistä (a) kulmaa, (b) pistetuloa ja (c) Euklidista etäisyyttä samankaltaisuusmittoina. 6p.