Teknillinen korkeakoulu Kivelä, Piirilä/ Mannersalo

Mat-1.202 MATEMATIIKAN PERUSKURSSI T II Välikoe 3, 3.5.1994

Kirjoita selvästi jokaiseen koepaperiin eri riveille:

1) opintojakson nimi, välikokeen numero, päiväys;

2) opiskelijanumero+kirjain, TEKSTATEN sukunimi alleviivattuna, kaikki etunimet;

3) koulutusohjelma (Ke,Ko,M,Mk,P,R,S,Tf,Ti,Tu);

4) mahdolliset entiset nimet ja koulutusohjelmat;

5) nimikirjoitus.

Tehtävä 1 : Olkoon C niiden xy-tason umpinaisten teiden joukko, jotka eivät kohtaa origoa. Määritellään funktio w : C → ℝ asettamalla

w(c) = \frac{1}{2π} ∮_{c} \frac{−y dx + x dy}{x^{2} + y^{2}} .

a) Laske w(c_{1}), kun c_{1} on origokeskinen yksikköympyrä positiiviseen suuntaan kierrettynä.

b) Tutki, mitä arvoja funktio w voi saada. Miten funktiota w voisi luonnehtia sanoin?

Tehtävä 2 : Laske kolmiulotteisen avaruuden vektorikentän u(x, y, z) = −e^{−z}(x i + y j) + k lähdekenttä ja pyörrekenttä sekä vuo origokeskisen yksikköpallon läpi. Hahmottele kuvio kentästä, jos sen ajatellaan esittävän nestevirtausta.

Tehtävä 3 : a) Selosta tarkasti, mitä tarkoitetaan potenssisarjan suppenemissäteellä ja suppenemisympyrällä. b) Kehitä funktio

f(x) = \frac{1}{x(x − 2a)}, a ≠ 0,

Taylorin sarjaksi kehityskeskuksena x_{0} = a. Mikä on sarjan suppenemissäde?

Tehtävä 4 : a) Kehitä 2π-jaksoinen funktio

f(x) = \{ \begin{matrix}0, jos −π ≤ x < 0, \\ 1, jos 0 ≤ x < π, \end{matrix}

Fourier’n sarjaksi. b) Millä tavoin voit käyttää tulosta laskeaksesi suppenevan vakiokertoimisen sarjan

∑_{n=1}^{∞} \frac{1}{(2n − 1)^{2}}

summan? Mikä on summan arvo?

Vänd!

Tekniska högskolan Kivelä, Piirilä/ Mannersalo

Mat-1.202 GRUNDKURS I MATEMATIK T II Mellanförhör 3, 3.5.1994

Skriv tydligt på varje provpapper på skilda rader:

1) studieperiodens namn, mellanförhörets nummer, datum;

2) studentnummer+bokstav, TEXTAT släktnamnet understreckat, alla förnamn;

3) utbildningsprogram (Ke,Ko,M,Mk,P,R,S,Tf,Ti,Tu);

4) eventuella tidigare namn och utbildningsprogram;

5) namnteckning.

Uppgift 1 : Låt C vara mängden av de slutna vägar i xy-planet, som inte träffar origo. Funktionen w : C → ℝ definieras genom

w(c) = \frac{1}{2π} ∮_{c} \frac{−y dx + x dy}{x^{2} + y^{2}} .

a) Beräkna w(c_{1}), då c_{1} är en enhetscirkel med mittpunkt i origo i den positiva riktningen.

b) Undersök vilka värden funktionen w kan ha. Hur kan man karakterisera funktionen w med ord?

Uppgift 2 : Beräkna i det tredimensionella rummet vektorfältets u(x, y, z) = −e^{−z}(x i + y j) + k källfält och rotationsfält samt flux genom en enhetssfär med mittpunkt i origo. Skissera en figur av fältet, om man tänker att det representerar en vätskeströmning.

Uppgift 3 : a) Förklara noggrant, vad som menas med en potensseries konvergensradie och konvergenscirkel. b) Utveckla funktionen

f(x) = \frac{1}{x(x − 2a)}, a ≠ 0,

till en Taylorserie med x_{0} = a som utvecklingscentrum. Vilken är seriens konvergensradie?

Uppgift 4 : a) Utveckla den 2π-periodiska funktionen

f(x) = \{ \begin{matrix}0, jos −π ≤ x < 0, \\ 1, jos 0 ≤ x < π, \end{matrix}

till en Fourierserie. b) På vilket sätt kan du använda resultatet för att beräkna summan av den konvergerande serien

∑_{n=1}^{∞} \frac{1}{(2n − 1)^{2}} ?

Ange värdet av summan.

Käännä!