Teknillinen korkeakoulu Kivelä, Piirilä/ Mannersalo

Mat-1.202 MATEMATIIKAN PERUSKURSSI T II Välikoe 2, 29.3.1994

Kirjoita selvästi jokaiseen koepaperiin eri riveille:

1) opintojakson nimi, välikokeen numero, päiväys;

2) opiskelijanumero+kirjain, TEKSTATEN sukunimi alleviivattuna, kaikki etunimet;

3) koulutusohjelma (Ke,Ko,M,Mk,P,R,S,Tf,Ti,Tu);

4) mahdolliset entiset nimet ja koulutusohjelmat;

5) nimikirjoitus.

Tehtävä 1 : Määritellään funktio f : ℝ^{2} → ℝ^{2} asettamalla (u, v) = f(x, y) = (x + 2y, (x + 2y)^{2}). Tutki, onko funktiolla a) lokaalia, b) globaalia käänteisfunktiota. Piirrä xy-tason koordinaattiruudukon kuva uv-tasossa.

Tehtävä 2 : Pallon keskipiste on origo ja säde R. Massatiheys on ρ(r) = α/r^{p}, missä r on etäisyys origosta. Pallon ulkopuolisen aineen massatiheys on vastaavasti ρ(r) = β/r^{q}. Millä luvun p arvoilla pallon kokonaismassa on äärellinen? Mikä kokonaismassa tällöin on? Jos pallon ulkopuolisen alueen kokonaismassa on myös äärellinen, onko massatiheydellä välttämättä epäjatkuvuus pallon pinnalla? Tuleeko eksponenttien p ja q välttämättä poiketa toisistaan? Miten paljon?

Tehtävä 3 : a) Selosta, miten Picardin – Lindelöfin menettelyä sovelletaan alkuarvoprobleeman ratkaisemiseen. b) Laske Airyn differentiaaliyhtälön y′′ − xy = 0 ratkaisulle kaksi ensimmäistä Picardin – Lindelöfin approksimaatiota, kun alkuehtona on y(0) = 1, y′(0) = 0 ja aloitusfunktiona y_{0}(x) = 1.

Tehtävä 4 : Olkoon a_{0} = 0 ja a_{k+1} = \sqrt{2 + a_{k}}, k = 0, 1, 2, …. Todista, että jono ⟨a_{k}⟩ suppenee ja määritä sen raja-arvo.

Vänd!

Tekniska högskolan Kivelä, Piirilä/ Mannersalo

Mat-1.202 GRUNDKURS I MATEMATIK T II Mellanförhör 2, 29.3.1994

Skriv tydligt på varje provpapper på skilda rader:

1) studieperiodens namn, mellanförhörets nummer, datum;

2) studentnummer+bokstav, TEXTAT släktnamnet understreckat, alla förnamn;

3) utbildningsprogram (Ke,Ko,M,Mk,P,R,S,Tf,Ti,Tu);

4) eventuella tidigare namn och utbildningsprogram;

5) namnteckning.

Uppgift 1 : Funktionen f : ℝ^{2} → ℝ^{2} definieras genom (u, v) = f(x, y) = (x + 2y, (x + 2y)^{2}). Undersök, om funktionen har en a) lokal, b) global invers. Rita i uv-planet bilden av xy-planets koordinatrutor.

Uppgift 2 : En sfärs mittpunkt är origo och radie R. Masstätheten är ρ(r) = α/r^{p}, där r är avståndet från origo. Ämnet utanför sfären har på motsvarande sätt masstätheten ρ(r) = β/r^{q}. Med vilken värde på talet p är sfärens totalmassa ändlig? Vad är då totalmassan? Om totalmassan för ämnet utanför sfären är också ändlig, är masstätheten nödvändigt diskontinuerlig på sfärens yta? Måste eksponenterna p och q nödvändigt vara olika? Hur mycket?

Uppgift 3 : a) Redogör, hur Picard – Lindelöf metoden tillämpas i lösningen av ett begynnelsevärdesproblem. b) Beräkna för Airys differentialekvations y′′ − xy = 0 lösning de två första Picard – Lindelöf approximationerna, då begynnelsevillkoret är y(0) = 1, y′(0) = 0 och begynnelsefunktionen y_{0}(x) = 1.

Uppgift 4 : Låt vara a_{0} = 0 och a_{k+1} = \sqrt{2 + a_{k}}, k = 0, 1, 2, …. Bevisa, att följden ⟨a_{k}⟩ konvergerar och bestäm dess gränsvärde.

Käännä!