Teknillinen korkeakoulu Kivelä, Piirilä/ Mannersalo

Mat-1.202 MATEMATIIKAN PERUSKURSSI T II Välikoe 1, 1.3.1994

Kirjoita selvästi jokaiseen koepaperiin eri riveille:

1) opintojakson nimi, välikokeen numero, päiväys;

2) opiskelijanumero+kirjain, TEKSTATEN sukunimi alleviivattuna, kaikki etunimet;

3) koulutusohjelma (Ke,Ko,M,Mk,P,R,S,Tf,Ti,Tu);

4) mahdolliset entiset nimet ja koulutusohjelmat;

5) nimikirjoitus.

Tehtävä 1 : Määrittele, mitä tarkoitetaan funktion f : ℝ^{2} → ℝ osittaisderivaatoilla. Laske funktion

f(x, y) = (x^{2} + y^{2}) sin \frac{1}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}} , kun (x, y) ≠ (0, 0), f(0, 0) = 0

osittaisderivaatat origossa. Tutki, onko funktio on differentioituva origossa ja ovatko osittaisderivaatat tässä pisteessä jatkuvia.

Tehtävä 2 : Määritä funktion f(x, y) = x^{5}y^{5}e^{−x^{2}−y^{2}} suurin ja pienin arvo yksikköympyrässä {(x, y) | x^{2} + y^{2} ≤ 1}. Missä pisteissä funktio saa nämä arvot?

Tehtävä 3 : Ratkaise Clairaut’n differentiaaliyhtälö (y′)^{2} + xy′ − y = 0.

Tehtävä 4 : Ratkaise alkuarvotehtävä y′ + y cot x = e^{cos x}, y(π/2) = 1.

———————-

Tekniska högskolan Kivelä, Piirilä/ Mannersalo

Mat-1.202 GRUNDKURS I MATEMATIK T II Mellanförhör 1, 1.3.1994

Skriv tydligt på varje provpapper på skilda rader:

1) studieperiodens namn, mellanförhörets nummer, datum;

2) studentnummer+bokstav, TEXTAT släktnamnet understreckat, alla förnamn;

3) utbildningsprogram (Ke,Ko,M,Mk,P,R,S,Tf,Ti,Tu);

4) eventuella tidigare namn och utbildningsprogram;

5) namnteckning.

Uppgift 1 : Definiera vad man menar med funktionens f : ℝ^{2} → ℝ partiella derivator. Beräkna funktionens

f(x, y) = (x^{2} + y^{2}) sin \frac{1}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}} , då (x, y) ≠ (0, 0), f(0, 0) = 0

partiella derivator i origo. Undersök om funktionen är differentierbar i origo och om de partiella derivatorna är kontinuerliga i denna punkt.

Uppgift 2 : Bestäm funktionens f(x, y) = x^{5}y^{5}e^{−x^{2}−y^{2}} största och minsta värde i enhetscirkeln {(x, y) | x^{2} + y^{2} ≤ 1}. I vilken punkt har funktionen dessa värden?

Uppgift 3 : Lös Clairaut’s differentialekvation (y′)^{2} + xy′ − y = 0.

Uppgift 4 : Lös begynnelsevärdesproblemet y′ + y cot x = e^{cos x}, y(π/2) = 1.