Teknillinen korkeakoulu Kivelä / Mannersalo

Mat-1.202 MATEMATIIKAN PERUSKURSSI T II Välikoe 3, 9.5.1995

Kirjoita selvästi jokaiseen koepaperiin eri riveille:

1) opintojakson nimi, välikokeen numero, päiväys;

2) opiskelijanumero+kirjain, TEKSTATEN sukunimi alleviivattuna, kaikki etunimet;

3) koulutusohjelma (Ke,Ko,M,Mk,P,R,S,Tf,Ti,Tu);

4) mahdolliset entiset nimet ja koulutusohjelmat;

5) nimikirjoitus.

Tehtävä 1 : Laske pinta-ala elliptiselle paraboloidille z = x^{2} + y^{2}, 0 ≤ z ≤ 2.

Tehtävä 2 : Osoita vektorikenttä

u(x, y, z) = −\frac{y}{x^{2} + y^{2}} i + \frac{x}{x^{2} + y^{2}} j + z^{2} k

pyörteettömäksi. Onko kenttä konservatiivinen? Onko sillä potentiaalifunktiota määrittelyjoukossaan? Määritä potentiaalifunktio myönteisessä tapauksessa; perustele kielteisessä tapauksessa, miksi sitä ei ole.

Tehtävä 3 : Määrittele täsmällisesti, mitä tarkoitetaan sarjan ∑_{k=1}^{∞} a_{k} suppenemisella. Todista, että jos sarja suppenee, niin lim_{k→∞} a_{k} = 0. Päteekö käänteinen: jos raja-arvo on = 0, niin suppeneeko sarja?

Tehtävä 4 : Funktio f määritellään potenssisarjalla:

f(x) = ∑_{k=0}^{∞} a_{k}x^{k}, missä a_{0} = 1, a_{1} = a_{2} = 0, a_{k+3} = \frac{a_{k}}{(k + 2)(k + 3)}.

Millä muuttujan x arvoilla sarja suppenee, ts. millä muuttujan arvoilla funktio tulee määritellyksi? Osoita, että funktio toteuttaa Airyn differentiaaliyhtälön y′′ − xy = 0.

Tekniska högskolan Kivelä / Mannersalo

Mat-1.202 GRUNDKURS I MATEMATIK T II Mellanförhör 3, 9.5.1995

Skriv tydligt på varje provpapper på skilda rader:

1) studieperiodens namn, mellanförhörets nummer, datum;

2) studentnummer+bokstav, TEXTAT släktnamnet understreckat, alla förnamn;

3) utbildningsprogram (Ke,Ko,M,Mk,P,R,S,Tf,Ti,Tu);

4) eventuella tidigare namn och utbildningsprogram;

5) namnteckning.

Uppgift 1 : Beräkna arean hos den elliptiska paraboloiden z = x^{2} + y^{2}, 0 ≤ z ≤ 2.

Uppgift 2 : Visa, att vektorfältet

u(x, y, z) = −\frac{y}{x^{2} + y^{2}} i + \frac{x}{x^{2} + y^{2}} j + z^{2} k

är virvelfritt. Är fältet konservativt? Har den en potentialfunktion i sin definitionsmängd? Om så är fallet, bestäm potentialfunktionen; i motsatt fall motivera, varför potentialfunktionen saknas.

Uppgift 3 : Definiera noggrant, vad som menas med att en serie ∑_{k=1}^{∞} a_{k} konvergerar. Visa, att om serien konvergerar, så är lim_{k→∞} a_{k} = 0. Gäller motsatsen: om gränsvärdet är = 0, konvergerar då serien?

Uppgift 4 : Funktionen f definieras med potensserien:

f(x) = ∑_{k=0}^{∞} a_{k}x^{k}, där a_{0} = 1, a_{1} = a_{2} = 0, a_{k+3} = \frac{a_{k}}{(k + 2)(k + 3)}.

För vilka värden på x konvergerar serien, dvs. för vilka variabelvärden kommer funktionen att vara definierad? Visa, att funktionen satisfierar Airys differentialekvation y′′ − xy = 0.