Teknillinen korkeakoulu Kivelä / Mannersalo

Mat-1.202 MATEMATIIKAN PERUSKURSSI T II Välikoe 1, 28.2.1995

Kirjoita selvästi jokaiseen koepaperiin eri riveille:

1) opintojakson nimi, välikokeen numero, päiväys;

2) opiskelijanumero+kirjain, TEKSTATEN sukunimi alleviivattuna, kaikki etunimet;

3) koulutusohjelma (Ke,Ko,M,Mk,P,R,S,Tf,Ti,Tu);

4) mahdolliset entiset nimet ja koulutusohjelmat;

5) nimikirjoitus.

Tehtävä 1 : Kahden reaalimuuttujan funktio f(x, y) toteuttaa alueessa {(x, y) | x > 0, y > 0} osittaisdiferentiaaliyhtälön

x \frac{∂f}{∂x} − y \frac{∂f}{∂y} = 0.

Olkoon u = xy ja v = x^{2} − y^{2}; merkitään f(x, y) = F (u, v) = F (xy, x^{2} − y^{2}). Millaisen osittaisdifferentiaaliyhtälön toteuttaa funktio F (u, v)? Ratkaise tämä yhtälö ja määritä sen perusteella f(x, y), kun tiedetään lisäksi, että f(x, x) = x arvoilla x > 0.

Tehtävä 2 : Selosta, miten voidaan tarkistaa, onko annettu avaruuden ℝ^{3} piste differentioituvan funktion f paikallinen ääriarvokohta. Miten ääriarvon tyyppi voidaan selvittää? Tutki sovellutuksena, onko piste (2, 0, 1) funktion

f(x, y, z) = yz − zx − xy + x + y + 2z − 2

ääriarvokohta ja myönteisessä tapauksessa, onko kyseessä maksimi vai minimi.

Tehtävä 3 : Ratkaise differentiaaliyhtälö y′ = |xy|, kun alkuehtona on a) y(−1) = 1, b) y(−1) = 0,

c) y(−1) = −1.

Tehtävä 4 : Toisen kertaluvun lineaarisen ja homogeenisen differentiaaliyhtälön y′′ + P (x)y′ + Q(x)y = 0 kerroinfunktiot P (x) ja Q(x) ovat jatkuvia. Todista, että yhtälön ratkaisuista y_{1} ja y_{2} muodostettu Wronskin determinantti W (x) toteuttaa differentiaaliyhtälön W′ + P (x)W = 0. Päättele tämän perusteella, että joko W (x) = 0 kaikilla x tai W (x) ≠ 0 kaikilla x.

Tekniska högskolan Kivelä / Mannersalo

Mat-1.202 GRUNDKURS I MATEMATIK T II Mellanförhör 1, 28.2.1995

Skriv tydligt på varje provpapper på skilda rader:

1) studieperiodens namn, mellanförhörets nummer, datum;

2) studentnummer+bokstav, TEXTAT släktnamnet understreckat, alla förnamn;

3) utbildningsprogram (Ke,Ko,M,Mk,P,R,S,Tf,Ti,Tu);

4) eventuella tidigare namn och utbildningsprogram;

5) namnteckning.

Uppgift 1 : Funktionen f(x, y) av två reella variabler satisfierar i området {(x, y) | x > 0, y > 0} den partiella differentialekvationen

x \frac{∂f}{∂x} − y \frac{∂f}{∂y} = 0.

Låt u = xy och v = x^{2} − y^{2}; sätt f(x, y) = F (u, v) = F (xy, x^{2} − y^{2}). Hurudan partiell differentialekvation kommer funktionen F (u, v) att satisfiera? Lös denna ekvation och bestäm med hjälp av detta f(x, y), om man dessutom vet, att f(x, x) = x för x > 0.

Uppgift 2 : Förklara hur man kan undersöka, huruvida en given punkt i rummet ℝ^{3} är en lokal extrempunkt till en differentierbar funktion f. Hur kan man bestämma extrempunktens typ? Som en tillämpning undersök, huruvida punkten (2, 0, 1) är en extrempunkt till funktionen

f(x, y, z) = yz − zx − xy + x + y + 2z − 2

och om så är fallet, huruvida det är ett maximum eller minimum.

Uppgift 3 : Lös differentialekvationen y′ = |xy| under begynnelsevillkoret a) y(−1) = 1,

b) y(−1) = 0, c) y(−1) = −1.

Uppgift 4 : Den linjärä homogena differentialekvationen y′′ + P (x)y′ + Q(x)y = 0 av andra ordningen har kontinuerliga koefficientfunktioner P (x) och Q(x). Visa att Wronskis determinant W (x), som ekvationens lösningar y_{1} och y_{2} bildar, satisfierar differentialekvationen W′ +P (x)W = 0. Visa utgående från detta, att antingen är W (x) = 0 för alla x eller så är W (x) ≠ 0 för alla x.