Teknillinen korkeakoulu Kivelä/ Mannersalo

Mat-1.202 Matematiikan peruskurssi T II Tentti, 28.10.1993

Kirjoita selvästi jokaiseen koepaperiin eri riveille:

1) opintojakson nimi, päiväys;

2) opiskelijanumero+kirjain, TEKSTATEN sukunimi alleviivattuna, kaikki etunimet;

3) koulutusohjelma (Ke,Ko,M,Mk,P,R,S,Tf,Ti,Tu);

4) mahdolliset entiset nimet ja koulutusohjelmat;

5) nimikirjoitus.

Tentti kestää neljä tuntia.

Tehtävä 1 : Osoita, että differentiaaliyhtälöllä

x(3 + x)y′′′ + (12 − x^{2})y′′ − 3(4 + x)y′ = 0

on ratkaisuina y = e^{x} ja y = 1/x^{2}. Mikä on differentiaaliyhtälön yleinen ratkaisu?

Tehtävä 2 : Ratkaise alkuarvoprobleema y′′ − 5y′ + 6y = e^{x}, y(0) = 3, y′(0) = 7.

Tehtävä 3 : Määrittele funktiojonon tasainen suppeneminen suljetulla välillä [a, b].

Tehtävä 4 : Kehitä funktio

f(x) = ∫_{0}^{x} e^{−t^{2}} dt

Maclaurinin sarjaksi. Esitä sarjan kertoimille yleinen lauseke. Montako nollasta eroavaa termiä sarjaan on otettava, jotta f(1) saataisiin lasketuksi tarkkuudella 10^{−10}?

Tehtävä 5 : Olkoon f differentioituva funktio ℝ^{2} → ℝ ja olkoon (a, b, c) piste, joka toteuttaa yhtälöt

\{ \begin{matrix}f(f(x, y), z) = 0, \\ f(x, f(y, z)) = 0. \end{matrix}

Millä funktion f osittaisderivaattoja koskevalla ehdolla yhtälöt implisiittifunktiolauseen mukaan määrittävät pisteen (a, b, c) ympäristössä funktiot x = u(z) ja y = v(z)? Merkitse osittaisderivaattoja f_{1} ja f_{2} sekä merkitse myös niiden argumentit näkyviin.

Tehtävä 6 : Määrittele pallokoordinaatit ja muunna integraali

∫∫∫_{A} f(x, y, z) dxdydz

pallokoordinaatteihin, kun funktio f oletetaan integroituvaksi ja integroimisjoukko A on R-säteinen origokeskinen pallo. Laske sovellutuksena R-säteisen pallon tilavuus.

Tehtävä 7 : Olkoon u(x, y, z) = z i + x j + y k vektorikenttä ja z = xy, |x| ≤ 1, |y| ≤ 1 pinnanapala. Laske viivaintegraali ∫ u · dr pitkin pinnanpalan reunaa a) suoraan viivaintegraalina,

b) muuntamalla se ensin pintaintegraaliksi Stokesin lauseen avulla.