Teknillinen korkeakoulu Kivelä/ Mannersalo

Mat-1.202 MATEMATIIKAN PERUSKURSSI T II Tentti, 13.1.1994

Kirjoita selvästi jokaiseen koepaperiin eri riveille:

1) opintojakson nimi, päiväys;

2) opiskelijanumero+kirjain, TEKSTATEN sukunimi alleviivattuna, kaikki etunimet;

3) koulutusohjelma (Ke,Ko,M,Mk,P,R,S,Tf,Ti,Tu);

4) mahdolliset entiset nimet ja koulutusohjelmat;

5) nimikirjoitus.

Tentti kestää neljä tuntia.

Tehtävä 1 : Käyräparvi muodostuu tason ympyröistä, joilla on vakiosäde R; ympyrän keskipisteen koordinaatit ovat parven parametreina. Määritä parven differentiaaliyhtälö. Miten tuloksesta voidaan päätellä muodossa y = y(x) annetun käyrän kaarevuuden lauseke? Mikä tämä lauseke on?

Tehtävä 2 : Olkoot x(t) ja y(t) tuntemattomia funktioita, jotka toteuttavat differentiaaliyhtälöryhmän

\{ \begin{matrix}y′′ − x = 1, \\ x′′ − y = 1. \end{matrix}

Määritä funktiot x ja y. Rajoitetaanko ratkaisua, jos vaaditaan lisäksi x = y? Jos rajoitetaan, niin mikä on ratkaisu tässä tapauksessa?

Tehtävä 3 : Tutki, millä muuttujan x arvoilla sarja ∑_{k=1}^{∞} e^{kx} suppenee, ja määritä sen summa. Voidaanko sarja derivoida termeittäin? Miksi? Mikä on tällöin sen summa?

Tehtävä 4 : Kahdesti jatkuvasti derivoituva funktio f(x, t) toteuttaa aaltoyhtälön

\frac{∂^{2}f}{∂t^{2}} = c^{2} \frac{∂^{2}f}{∂x^{2}} .

Merkitään u = x + ct, v = x − ct, f(x, t) = F (u, v). Minkä osittaisdifferentiaaliyhtälön funktio F toteuttaa?

Tehtävä 5 : Määritä funktion f(x, y, z) = xyz suurin ja pienin arvo yksikköpallossa {(x, y, z) | x^{2} + y^{2} + z^{2} ≤ 1}.

Tehtävä 6 : Pallon kokonaismassa on m, säde R ja tiheys suoraan verrannollinen keskipisteestä laskettuun etäisyyteen (verrannollisuuskertoimena α): ρ = αr. Laske pallon hitausmomentti J keskipisteen kautta kulkevan akselin suhteen. Laske myös hitaussäde r_{0}, so. esitä hitausmomentti muodossa J = mr_{0}^{2}.

Tehtävä 7 : Olkoon u(x, y, z) = z i + x j + y k vektorikenttä ja z = xy, |x| ≤ 1, |y| ≤ 1 pinnanapala. Laske viivaintegraali ∫ u · dr pitkin pinnanpalan reunaa a) suoraan viivaintegraalina,

b) muuntamalla se ensin pintaintegraaliksi Stokesin lauseen avulla.