Teknillinen korkeakoulu Kivelä, Piirilä/ Mannersalo

Mat-1.202 MATEMATIIKAN PERUSKURSSI T II Tentti, 26.5.1994

Kirjoita selvästi jokaiseen koepaperiin eri riveille:

1) opintojakson nimi, päiväys;

2) opiskelijanumero+kirjain, TEKSTATEN sukunimi alleviivattuna, kaikki etunimet;

3) koulutusohjelma (Ke,Ko,M,Mk,P,R,S,Tf,Ti,Tu);

4) mahdolliset entiset nimet ja koulutusohjelmat;

5) nimikirjoitus.

Tentti kestää neljä tuntia.

Tehtävä 1 : Olkoot f ja g kahdesti jatkuvasti derivoituvia funktioita ℝ → ℝ. Määritä vakiot a ja k siten, että funktio u(x, y) = xf(x + ay) + yg(x + ay) toteuttaa osittaisdifferentiaaliyhtälön

\frac{∂^{2}u}{∂x^{2}} + \frac{∂^{2}u}{∂y^{2}} = k \frac{∂^{2}u}{∂x∂y} .

Tehtävä 2 : Karttapaperi kutistuu x-akselin suunnassa 1 % ja y-akselin suunnassa 0.6 %. Kuinka monta prosenttia on enintään korjattava sellaista etäisyyttä, joka kutistuneella kartalla muodostaa 30^{∘} kulman x-akselin kanssa? Paljonko kulmaa on korjattava?

Tehtävä 3 : Laske muotoa x = as cos t, y = bs sin t (a ja b vakioita) olevaa muunnosta käyttäen tasointegraali

∫_{A} ln (1 + \frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{9} ) da, A = \{ (x, y) | x ≥ 0, y ≥ 0, 9x^{2} + 4y^{2} ≤ 36 \}.

Tehtävä 4 : Olkoon V ⊂ ℝ^{3} rajoitettu joukko, jolla on origo sisäpisteenä ja jonka reuna ∂V on säännöllinen. Laske

a) epäoleellinen avaruusintegraali ∫_{V} ∇ · ∇\frac{1}{r} dv, b) pintaintegraali ∮_{∂V} ∇\frac{1}{r} · da.

Seuraako Gaussin lauseesta, että integraalien arvot ovat samat?

Tehtävä 5 : Laske alkuarvoprobleeman y′′ = yy′ −x^{2}, y(0) = y′(0) = 1 ratkaisun neljännen asteen Maclaurinin polynomi. Sijoita tulos differentiaaliyhtälöön.

Tehtävä 6 : Ratkaise yhtälö x′′(t) + αx′(t) + g = 0, missä α ja g ovat positiivisia vakioita. Sovella alkuehtoa x(0) = 0, x′(0) = v_{0} ja määritä se muuttujan t arvo, jolla x′(t) = 0. Mikä on probleeman fysikaalinen sisältö?

Tehtävä 7 : Laske sarjan

∑_{k=1}^{∞} \frac{1}{k2^{k}}

summa laskemalla ensin integraali ∫0^{\frac{1}{2}} x^{k−1} dx. Perustele laskusi.

Tekniska högskolan Kivelä, Piirilä/ Mannersalo

Mat-1.202 GRUNDKURS I MATEMATIK T II Tentamen, 26.5.1994

Skriv tydligt på varje provpapper på skilda rader:

1) studieperiodens namn, datum;

2) studentnummer+bokstav, TEXTAT släktnamnet understreckat, alla förnamn;

3) utbildningsprogram (Ke,Ko,M,Mk,P,R,S,Tf,Ti,Tu);

4) eventuella tidigare namn och utbildningsprogram;

5) namnteckning.

Tentamen består fyra timmar.

Uppgift 1 : Låt f och g vara två gånger kontinuerligt deriverbara funktioner ℝ → ℝ. Bestäm konstanterna a och k så att funktionen u(x, y) = xf(x + ay) + yg(x + ay) satisfierar den partiella differentialekvationen

\frac{∂^{2}u}{∂x^{2}} + \frac{∂^{2}u}{∂y^{2}} = k \frac{∂^{2}u}{∂x∂y} .

Uppgift 2 : Ett kartpapper krymper 1 % i x-axelns riktning och 0.6 % i y-axelns riktning. Med hur många procent måste man maximalt korrigera sådana avstånd, som på det krympta kartpappret bildar 30^{∘} vinkel med x-axeln? Hur mycket måste vinkeln korrigeras?

Uppgift 3 : Beräkna den plana integralen

∫_{A} ln (1 + \frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{9} ) da, A = \{ (x, y) | x ≥ 0, y ≥ 0, 9x^{2} + 4y^{2} ≤ 36 \},

med hjäp av en substitution på formen x = as cos t, y = bs sin t (a och b konstanter).

Uppgift 4 : Låt V ⊂ ℝ^{3} vara en begränsad mängd, som har origo som en inre punkt och vars rand ∂V är reguljär. Beräkna

a) den generaliserade rymdintegralen ∫_{V} ∇ · ∇\frac{1}{r} dv, b) ytintegralen ∮_{∂V} ∇\frac{1}{r} · da.

Följer det ur Gauss sats, att de två integralerna har samma värde?

Uppgift 5 : Beräkna fjärde gradens Maclaurinpolynom för lösningen till begynnelsevärdesproblemet y′′ = yy′ − x^{2}, y(0) = y′(0) = 1. Sätt in resultatet i differentialekvationen.

Uppgift 6 : Lös ekvationen x′′(t) + αx′(t) + g = 0, där α och g är positiva konstanter. Sätt in begynnelsevillkoren x(0) = 0, x′(0) = v_{0} och bestäm värdet på variablen t så att x′(t) = 0. Vad har problemet som fysikalisk innebörd?

Uppgift 7 : Beräkna summan hos serien

∑_{k=1}^{∞} \frac{1}{k2^{k}}

genom att först beräkna integralen ∫0^{\frac{1}{2}} x^{k−1} dx. Motivera.