Teknillinen korkeakoulu Kivelä / Mannersalo

Mat-1.202 MATEMATIIKAN PERUSKURSSI T II Tentti, 12.1.1995

Kirjoita selvästi jokaiseen koepaperiin eri riveille:

1) opintojakson nimi, päiväys;

2) opiskelijanumero+kirjain, TEKSTATEN sukunimi alleviivattuna, kaikki etunimet;

3) koulutusohjelma (Ke,Ko,M,Mk,P,R,S,Tf,Ti,Tu);

4) mahdolliset entiset nimet ja koulutusohjelmat;

5) nimikirjoitus.

Tentti kestää neljä tuntia.

Tehtävä 1 : Tutki, mitä arvoja funktio

f(x, y) = \frac{x − y}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}} , (x, y) ≠ (0, 0),

saa origon δ-säteisessä ympäristössä. Määritä funktion raja-arvo origossa, mikäli tämä on olemassa.

Tehtävä 2 : Tavaroita siirrellään xy-tasossa käyttäen robottia, joka muodostuu kahdesta toisiinsa liitetystä vipuvarresta. Ensimmäinen varsi on toisesta päästään kiinnitetty origoon ja se voi kiertyä origon ympäri; kiertokulma on α. Varren pituus on 3 metriä. Toisen varren pää on kiinnitetty ensimmäisen vapaaseen päähän, jonka ympäri se voi xy-tasossa kiertyä. Varren pituus on 1 metri ja sen suuntakulma ensimmäiseen varteen nähden on β. Robotin tartuntaelin on toisen varren vapaassa päässä. Lausu tartuntaelimen koordinaatit (x, y) ohjausparametrien α ja β funktioina, ts. määritä lauseke vektorimuuttujan vektoriarvoiselle funktiolle (x, y) = f(α, β). Laske funktion Jacobi’n determinantti ja tutki, milloin se on = 0. Mitä xy-tason pisteitä nollakohdat vastaavat? Mikä ominaisuus vektorimuuttujan funktiolla ja siis robotilla on näissä pisteissä?

Tehtävä 3 : Selosta, miten lasketaan kaarevan pinnan ala. Laske satulapinnasta leikatun pinnanpalan z = xy, x^{2} + y^{2} ≤ R^{2}, pinta-ala.

Tehtävä 4 : Differentiaaliyhtälöllä

y′ + P (x)y = (x + 1)^{2}e^{x}

on ratkaisuna y = (x^{2} − 1)e^{x}. Määritä P (x) ja yhtälön yleinen ratkaisu. Etsi alkuehdon y(0) = 5 toteuttava yksityisratkaisu.

Tehtävä 5 : Selosta jokin tapa etsiä sarjaratkaisu alkuarvoprobleemalle y′ = 1 + y^{2}, y(0) = 0. (Sarjaratkaisu on etsittävä suoraan, so. käyttämättä tietoa, että yhtälön ratkaisu on y = tan x.) Laske sarjaratkaisun termit neljännen asteen termiin saakka (tämä mukaanluettuna).

Tehtävä 6 : Laske sarjojen

∑_{k=1}^{∞} \frac{sin kx}{2^{k}} ja ∑_{k=0}^{∞} \frac{cos kx}{2^{k}}

summat summeeraamalla ensin sarja

∑_{k=0}^{∞} \frac{e^{ikx}}{2^{k}} .

Millä muuttujan x reaaliarvoilla sarjat suppenevat?