Teknillinen korkeakoulu Kivelä, Piirilä/ Mannersalo

Mat-1.201 MATEMATIIKAN PERUSKURSSI T I Välikoe 3, 13.12.1993

Kirjoita selvästi jokaiseen koepaperiin eri riveille:

1) opintojakson nimi, välikokeen numero, päiväys;

2) opiskelijanumero+kirjain, TEKSTATEN sukunimi alleviivattuna, kaikki etunimet;

3) koulutusohjelma (Ke,Ko,M,Mk,P,R,S,Tf,Ti,Tu);

4) mahdolliset entiset nimet ja koulutusohjelmat;

5) nimikirjoitus.

Tehtävä 1 : Määritä kaarenpituus napakoordinaattikäyrälle r = e^{−φ}, φ ∈ [0, ∞[. Laske käyrän kaarevuus parametrin φ funktiona. Mikä on kaarevuussäteen raja-arvo, kun φ → ∞? Piirrä käyrä. (Kaarevuus = |r′ × r′′|/|r′|^{3}.)

Tehtävä 2 : Millä tarkkuudella funktion tan x toisen asteen Taylorin polynomi T_{2}(x, 0) antaa funktion arvot välillä [−\frac{1}{2}, \frac{1}{2}]? Perustele väitteesi tarkasti.

Tehtävä 3 : Olkoon x′ = Ax + b affiininen kuvaus tasosta E^{2} tasoon E^{2} tai avaruudesta E^{3} avaruuteen E^{3}; olkoon matriisi A säännöllinen (ts. käänteismatriisi on olemassa). Osoita, että kuvaus kuvaa suoran suoraksi. Missä kohden tarvitaan oletusta, että matriisi A on säännöllinen?

Tehtävä 4 : Osoita, että yhtälö 2xy + 2yz = 4zx esittää kartiopintaa. Määritä kartion akseli. Onko kyseessä pyörähdyspinta?

———————————-

Tekniska högskolan Kivelä, Piirilä/ Mannersalo

Mat-1.201 GRUNDKURS I MATEMATIK T I Mellanförhör 3, 13.12.1993

Skriv tydligt på varje provpapper på skilda rader:

1) studieperiodens namn, mellanförhörets nummer, datum;

2) studentnummer+bokstav, TEXTAT släktnamnet understreckat, alla förnamn;

3) utbildningsprogram (Ke,Ko,M,Mk,P,R,S,Tf,Ti,Tu);

4) eventuella tidigare namn och utbildningsprogram;

5) namnteckning.

Uppgift 1 : Bestäm båglängden för polär-koordinatkurvan r = e^{−φ}, φ ∈ [0, ∞[. Beräkna kurvans krökning som en funktion av parametern φ. Vad är krökningsradiens gränsvärde, när φ → ∞? Rita kurvan. (Krökning = |r′ × r′′|/|r′|^{3}.)

Uppgift 2 : Med vilken noggrannhet ger funktionens tan x Taylor polynom av andra graden T_{2}(x, 0) funktionens värden i intervallet [−\frac{1}{2}, \frac{1}{2}]? Motivera ditt påstående noggrant.

Uppgift 3 : Låt x′ = Ax + b vara en affin avbildning från planet E^{2} till planet E^{2} eller från rummet E^{3} till rummet E^{3}; låt matrisen A vara regulär (dvs. den inversa matrisen existerar). Bevisa, att en rät linjes bild i avbildningen är en rät linje. I vilket skede behövs antagandet att matrisen A är regulär?

Uppgift 4 : Bevisa, att ekvationen 2xy + 2yz = 4zx representerar en konyta. Bestäm konens axel. Är det fråga om en rotationsyta?