Teknillinen korkeakoulu Kivelä, Piirilä/ Mannersalo

Mat-1.201 MATEMATIIKAN PERUSKURSSI T I Välikoe 2, 16.11.1993

Kirjoita selvästi jokaiseen koepaperiin eri riveille:

1) opintojakson nimi, välikokeen numero, päiväys;

2) opiskelijanumero+kirjain, TEKSTATEN sukunimi alleviivattuna, kaikki etunimet;

3) koulutusohjelma (Ke,Ko,M,Mk,P,R,S,Tf,Ti,Tu);

4) mahdolliset entiset nimet ja koulutusohjelmat;

5) nimikirjoitus.

Tehtävä 1 : Tietyllä ajanhetkellä pallon säde on 3 cm ja pallon tilavuus kasvaa nopeudella 2 cm^{3}/s. Millä nopeudella kasvaa pallon ala? (Mitään nopeuksista ei oleteta vakioksi.)

Tehtävä 2 : Määritä neljän desimaalin tarkkuudella ruuviviivan

r(t) = cos t i + sin t j + \frac{t}{2π} k

sen pisteen P koordinaatit, joka on lähinnä pistettä (0, 1, 0). Perustele ääriarvon laatu geometrisen havainnon avulla. Pisteeseen P asetetaan ruuviviivan tangentti; määritä tangentin ja xy-tason leikkauspiste.

Tehtävä 3 : Laske integraali

∫_{0}^{4} \frac{dx}{\sqrt{x^{2} + 2x + 3}}.

Anna vastaus logaritmifunktion avulla.

Tehtävä 4 : a) Määrittele, mitä tarkoitetaan neliömatriisin ominaisarvolla ja vastaavalla ominaisvektorilla. b) Olkoon λ matriisin

A = ( \begin{matrix}α & 1 & 1 & β \\ 4 & α & β & 2 \\ 4 & β & α & 2 \\ β & 3 & 3 & α \end{matrix} )

ominaisarvo. Millä lukuja α, β, λ koskevalla ehdolla matriisilla on ominaisvektorina ( 0 1 −1 0 )^{T} ?

Vänd!

Tekniska högskolan Kivelä, Piirilä/ Mannersalo

Mat-1.201 GRUNDKURS I MATEMATIK T I Mellanförhör 2, 16.11.1993

Skriv tydligt på varje provpapper på skilda rader:

1) studieperiodens namn, mellanförhörets nummer, datum;

2) studentnummer+bokstav, TEXTAT släktnamnet understreckat, alla förnamn;

3) utbildningsprogram (Ke,Ko,M,Mk,P,R,S,Tf,Ti,Tu);

4) eventuella tidigare namn och utbildningsprogram;

5) namnteckning.

Uppgift 1 : Vid en viss tidpunkt är en sfärs radie 3 cm och sfärens volym växer med hastigheten 2 cm^{3}/s. Med vilken hastighet växer sfärens ytinnehåll? (Ingen av hastigheterna antas vara konstant.)

Uppgift 2 : Bestäm med fyra decimalers noggrannhet koordinaterna för den punkt P på skruvlinjen

r(t) = cos t i + sin t j + \frac{t}{2π} k,

som är närmast punkten (0, 1, 0). Ge en motivation för extremvärdets typ med hjälp av geometrisk observation. Vi betraktar skruvlinjens tangent i punkten P; bestäm tangentens och xy-planets skärningspunkt.

Uppgift 3 : Beräkna integralen

∫_{0}^{4} \frac{dx}{\sqrt{x^{2} + 2x + 3}}.

Ge svaret med hjälp av logaritmfunktionen.

Uppgift 4 : a) Definiera vad man menar med en kvadratisk matris’ egenvärde och motsvarande egenvektor. b) Låt λ vara matrisens

A = ( \begin{matrix}α & 1 & 1 & β \\ 4 & α & β & 2 \\ 4 & β & α & 2 \\ β & 3 & 3 & α \end{matrix} ) .

egenvärde. Under vilket villkor för talen α, β, λ har matrisen ( 0 1 −1 0 )^{T} som en egenvektor?

Käännä!