Teknillinen korkeakoulu Kivelä/ Mannersalo

Mat-1.201 MATEMATIIKAN PERUSKURSSI T I Tentti, 8.9.1993

Kirjoita selvästi jokaiseen koepaperiin eri riveille:

1) opintojakson nimi, päiväys;

2) opiskelijanumero+kirjain, TEKSTATEN sukunimi alleviivattuna, kaikki etunimet;

3) koulutusohjelma (Ke,Ko,M,Mk,P,R,S,Tf,Ti,Tu);

4) mahdolliset entiset nimet ja koulutusohjelmat;

5) nimikirjoitus.

Tentti kestää neljä tuntia.

Tehtävä 1 : Laske käyrän x^{y} = y^{x} tangentin kulmakerroin pisteessä (4, 2). Tarkka arvo ja likiarvo.

Tehtävä 2 : Tutki, onko piste (\frac{3125}{1024}, \frac{625}{256}) käyrällä

x = (1 + \frac{1}{t})^{t+1} , y = (1 + \frac{1}{t})^{t} .

Miten käyrä käyttäytyy, kun t → ∞?

Tehtävä 3 : Laske

\frac{d}{dx} ∫_{0}^{3 sinh(2x)} \sqrt{9 + t^{2}} dt.

Tehtävä 4 : Muodosta osamurtokehitelmä ja laske integraalifunktio lausekkeelle

\frac{x^{4} + 1}{(x − 1)(x^{3} + 1)}.

Tehtävä 5 : Massapisteistön hitausmomentti on J = ∑_{k=1}^{n} m_{k}d_{k}^{2}, missä indeksi k numeroi pisteet, m_{k} on pisteen massa ja d_{k} sen kohtisuora etäisyys pyörähdysakselista. Pisteessä (3, 2, 1) on massa 5 ja pisteessä (3, 1, 4) massa 17. Laske hitausmomentti, kun akselina on suora 5x = 3y = 2z. Tarkka arvo ja likiarvo.

Tehtävä 6 : Kuvaus

( \begin{matrix}x′ \\ y′ \end{matrix} ) = \frac{1}{25} ( \begin{matrix}7 & −24 \\ −24 & −7 \end{matrix} ) ( \begin{matrix}x \\ y \end{matrix} )

kuvaa xy-tason pisteet xy-tason pisteiksi. Osoita, että kyseessä on peilauskuvaus ja määritä sen akseli. Laske kolmion ABC kuva, kun A ˆ= (0, 0), B ˆ= (5, 1) ja C ˆ= (0, −2). Piirrä kuvio.

Tehtävä 7 : Muodosta toisen asteen pintaa 2x^{2} + 6y^{2} + 2z^{2} + 8xz = 360 vastaava neliömatriisi ja määritä tämän ominaisarvot. Millainen pinta on kyseessä?

Tekniska högskolan Kivelä/ Mannersalo

Mat-1.201 GRUNDKURS I MATEMATIK T I Tentamen, 8.9.1993

Skriv tydligt på varje provpapper på skilda rader:

1) studieperiodens namn, datum;

2) studentnummer+bokstav, TEXTAT släktnamnet understreckat, alla förnamn;

3) utbildningsprogram (Ke,Ko,M,Mk,P,R,S,Tf,Ti,Tu);

4) eventuella tidigare namn och utbildningsprogram;

5) namnteckning.

Tentamen består fyra timmar.

Uppgift 1 : Beräkna vinkelkoefficienten för kurvans x^{y} = y^{x} tangent i punkten (4, 2). Exakt värde och närmevärde.

Uppgift 2 : Undersök om punkten (\frac{3125}{1024}, \frac{625}{256}) ligger på kurvan

x = (1 + \frac{1}{t})^{t+1} , y = (1 + \frac{1}{t})^{t} .

Hur uppför sig kurvan, då t → ∞?

Uppgift 3 : Beräkna

\frac{d}{dx} ∫_{0}^{3 sinh(2x)} \sqrt{9 + t^{2}} dt.

Uppgift 4 : Bilda en uppdelning i partialbråk och integralfunktion (primitiv funktion) för uttrycket

\frac{x^{4} + 1}{(x − 1)(x^{3} + 1)}.

Uppgift 5 : Tröghetsmoment för ett system av masspunkter är J = ∑_{k=1}^{n} m_{k}d_{k}^{2}, där indexet k numrerar punkterna, m_{k} är punktens massa och d_{k} dess vinkelräta avstånd från rotationsaxeln. I punkten (3, 2, 1) finns massan 5 och i punkten (3, 1, 4) massan 17. Beräkna tröghetsmomentet, då axeln är den räta linjen 5x = 3y = 2z. Exakt värde och närmevärde.

Uppgift 6 : Avbildningen

( \begin{matrix}x′ \\ y′ \end{matrix} ) = \frac{1}{25} ( \begin{matrix}7 & −24 \\ −24 & −7 \end{matrix} ) ( \begin{matrix}x \\ y \end{matrix} )

avbildar xy-planets punkter till xy-planets punkter. Visa, att det är fråga om en spegelavbildning och bestäm dess axel. Beräkna triangelns ABC bild, då A ˆ= (0, 0), B ˆ= (5, 1) och C ˆ= (0, −2). Rita en figur.

Uppgift 7 : Bilda den kvadratmatris som motsvarar andragradsytan 2x^{2} + 6y^{2} + 2z^{2} + 8xz = 360 och bestäm dess egenvärden. Hurudan yta är det fråga om?