Teknillinen korkeakoulu Kivelä, Piirilä/ Mannersalo

Mat-1.201 MATEMATIIKAN PERUSKURSSI T I Tentti, 25.5.1994

Kirjoita selvästi jokaiseen koepaperiin eri riveille:

1) opintojakson nimi, päiväys;

2) opiskelijanumero+kirjain, TEKSTATEN sukunimi alleviivattuna, kaikki etunimet;

3) koulutusohjelma (Ke,Ko,M,Mk,P,R,S,Tf,Ti,Tu);

4) mahdolliset entiset nimet ja koulutusohjelmat;

5) nimikirjoitus.

Tentti kestää neljä tuntia.

Tehtävä 1 : Millä lukuja α, β, γ, δ koskevalla ehdolla vektorit αx+βy ja γx+δy ovat lineaarisesti riippumattomia, jos vektorit x ja y a) ovat, b) eivät ole lineaarisesti riippumattomia?

Tehtävä 2 : Dimetrinen ortogonaaliprojektio on yhdensuuntaisprojektio, jonka kuvataso on \sqrt{7}x + y + z = 0. Johda kaavat yhdensuuntaisprojektiokuvan laskemista varten.

Tehtävä 3 : Olkoon f(x) ≤ g(x) ≤ h(x) pisteen a aidossa ympäristössä sekä lisäksi lim_{x→a} f(x) = lim_{x→a} h(x) = A. Todista raja-arvon määritelmään perustuen, että lim_{x→a} g(x) = A.

Tehtävä 4 : Piirrä käyrä \overline{arc}tan x+\overline{arc}tan y = π/4. Sievennä muuttujien x ja y välinen riippuvuus mahdollisimman yksinkertaiseen muotoon.

Tehtävä 5 : Osoita, että kardioidi r = 1 + cos φ ja kardioidi r = 1 − cos φ leikkaavat toisensa kohtisuorasti.

Tehtävä 6 : Johda ellipsin kehän pituudelle lauseke

a ∫_{0}^{2π} \sqrt{1 − e^{2} cos^{2} t} dt,

missä a on ellipsin ison akselin puolikas ja e eksentrisyys. (Integraalia ei voida laskea alkeisfunktioiden avulla.)

Tehtävä 7 : xz-tason käyrä z = exp(−x^{2}) pyörähtää z-akselin ympäri, jolloin syntyy xy-tason yläpuolella sijaitseva (ääreetömyyteen joka suunnassa ulottuva) pinta. Laske tämän pinnan ja xy-tason väliin jäävän alueen tilavuus, mikäli se on äärellinen.

Tekniska högskolan Kivelä, Piirilä/ Mannersalo

Mat-1.201 GRUNDKURS I MATEMATIK T I Tentamen, 25.5.1994

Skriv tydligt på varje provpapper på skilda rader:

1) studieperiodens namn, datum;

2) studentnummer+bokstav, TEXTAT släktnamnet understreckat, alla förnamn;

3) utbildningsprogram (Ke,Ko,M,Mk,P,R,S,Tf,Ti,Tu);

4) eventuella tidigare namn och utbildningsprogram;

5) namnteckning.

Tentamen består fyra timmar.

Uppgift 1 : Under vilka villkor på talen α, β, γ, δ är vektorerna αx + βy och γx + δy linjärt oberoende, om vektorerna x och y a) är, b) inte är linjärt oberoende?

Uppgift 2 : Den dimetriska ortogonalprojektionen är en parallellprojektion, som har bildplanet \sqrt{7}x + y + z = 0. Härled formlerna för beräkningen av den bild, som projektionen ger.

Uppgift 3 : Antag, att f(x) ≤ g(x) ≤ h(x) i någon punkterad omgivning av punkten a och att vidare lim_{x→a} f(x) = lim_{x→a} h(x) = A. Bevisa utgående från gränsvärdets definition, att lim_{x→a} g(x) = A.

Uppgift 4 : Skissa kurvan \overline{arc}tan x + \overline{arc}tan y = π/4. Förenkla beroendet mellan x ja y till en så enkel form som möjligt.

Uppgift 5 : Visa, att kardioiden r = 1 + cos φ och kardioiden r = 1 − cos φ skär varandra vinkelrät.

Uppgift 6 : Härled formeln

a ∫_{0}^{2π} \sqrt{1 − e^{2} cos^{2} t} dt

för längden hos omkretsen av ellipsen, vars halva storaxel är a och excentricitet e. (Integralen kan inte beräknas med hjälp av elementära funktioner.)

Uppgift 7 : Kurvan z = exp(−x^{2}) i xz-planet roterar kring z-axeln, varvid en yta uppstår, som ligger ovanför xy-planet (och sträcker sig ut mot oändligheten). Beräkna volymen hos området mellan denna yta och xy-planet, om denna volym är ändlig.