Teknillinen korkeakoulu Kivelä / Mannersalo

Mat-1.201 MATEMATIIKAN PERUSKURSSI T I Tentti, 17.1.1995

Kirjoita selvästi jokaiseen koepaperiin eri riveille:

1) opintojakson nimi, päiväys;

2) opiskelijanumero+kirjain, TEKSTATEN sukunimi alleviivattuna, kaikki etunimet;

3) koulutusohjelma (Ke,Ko,M,Mk,P,R,S,Tf,Ti,Tu);

4) mahdolliset entiset nimet ja koulutusohjelmat;

5) nimikirjoitus.

Tentti kestää neljä tuntia.

Tehtävä 1 : Määritä funktion f(x) = x^{x} (x > 0) raja-arvo origossa ja lokaalit ääriarvot. Hahmottele kuvaaja. Olkoon a_{n} yhtälön x^{x} = n ratkaisu. Osoita tarkasti perustellen: lim_{n→∞} a_{n} = ∞.

Tehtävä 2 : Johda funktiolle arsinh x lauseke logaritmin avulla. Johda funktion arsinh x derivaatta käänteisfunktion derivoimista koskevan lauseen perusteella lähtemällä funktion sinh x derivaatasta ja toisaalta derivoimalla saamasi logaritmiesitys. Osoita, että tulokset ovat samat.

Tehtävä 3 : Laske integraali

∫ \frac{x^{4} + 5}{x^{4} − 4x + 3} dx.

Tehtävä 4 : Napakoordinaattikäyrää r = ae^{kφ} kutsutaan logaritmiseksi spiraaliksi. Oletetaan a > 0, k > 0. Osoita, että napakulman arvoja φ ∈] − ∞, 0] vastaavan kaaren pituus on sama kuin sen janan pituus, jonka koordinaattiakselit erottavat arvoa φ = 0 vastaavaan pisteeseen asetetusta spiraalin tangentista. Mikä on tämä yhteinen pituus?

Tehtävä 5 : Määrittele, mitä tarkoitetaan kahden matriisin tulolla ja matriisin käänteismatriisilla. Laske matriisin

A = ( \begin{matrix}1 & 2 & −1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 2 & 0 & 4 \end{matrix} )

käänteismatriisi.

Tehtävä 6 : Painovoima vaikuttakoon negatiivisen z-akselin suuntaan. Pisara putoaa pisteestä (1, 1, 3) tasolle 3x − 4y + 12z = 12 ja alkaa valua tasoa pitkin alaspäin. Missä pisteessä se kohtaa xy-tason?