Tentti 27.09.1994

Kirjoita ensin allamainitussa järjestyksessä koepapereihin selvästi

- num.anal. A, tentti 27.09.1994

- op.kirjan no kirjaimineen, TEKSTATEN sukunimi, etunimet, puhuttelunimi alleviivattuna,

- koulutusohjelma (ei osasto), vuosikurssi (I, II, III, IV, N)

- mahdolliset entiset nimet ja koulutusohjelmat

- nimikirjoitus

1. Oletetaan, että käytettävissä on laskulaite, jossa luvut esitetään liukulukuina viidellä merkitsevällä numerolla.

a) Mitä saadaan tulokseksi, jos ko. laitteella lasketaan funktion f(x)=sqrt(x^2 + 1) - x arvo pisteessä x = 1000 suoraan kaavasta ?

(merkinnät: sqrt=neliöjuuri, ^ = potenssiinkorotus)

b) Esitä jokin tapa (algoritmi), jolla f(1000) saadaan em. laitteella oikein kolmella merkitsevällä numerolla.

2. Määrittele seuraavat integrointikaavat ja luettele niiden tärkeimmät ominaisuudet (erityisesti kertaluku)

a) puolisuunnikassääntö

b) Simpsonin kaava

c) Gauss-Legendre.

3. Hae Newtonin menetelmällä (systeemimuodossa!) yhtälöparin

s - e^t = 0

s^2 + t^2 = 1

ratkaisu tason neljänneksessä s > 0, t > 0.

4. Määrittele sisätulon

(f,g) = (integraali 0:sta 1:een) xf(x)g(x)dx

mielessä ortonormaalit funktiot p0 ja p1 jotka ovat muotoa

p0(x) = a

p1(x) = bx + c (a,b,c vakioita),

(merkinnät: p0 -- 0 alaindeksinä)

ja näiden avulla em. sisätuloon liittyvän normin mielessä paras 1. asteen

polynomiapproksimaatio funktiolle f(x) = x^2

5. Arvioi, kuinka tarkasti e^0.001 saadaan lasketuksi, kun sovelletaan CrankNicolsonin menetelmää (trapetsisääntöä) askelpituudella h = .001 differentiaaliyhtälön x'(t) = x(t) numeeriseen ratkaisuun välillä [O,h] alkuehdolla x(o) = 1.