Tentti 12.1.1995

Kirjoita ensin allamainitussa järjestyksessä koepapereihin selvästi

- opintojakson nimi ja koepäivä

- opintokirjan numero ja kirjain, TEKSTATEN sukunimi ja etunimet, puhuttelunimi alleviivattuna

- koulutusohjelma (ei osasto)

- mahdolliset entiset nimet ja koulutusohjelmat

- nimikirjoitus

1. a) Näytä, että integraalille

In = (integraali 0:sta 1:een) x^n / (x+5) dx

pätee palautuskaava

In + 5In-1 = 1/n (n>=1)

(merkinnät: In = I jossa alaindeksinä n, In-1 = I, alaind. n-1 )

b) Laske palautuskaavalla I4:Ile likiarvo käyttäen lähtöapproksimaatiota I10 = 0.

c) Arvioi em. likiarvon virhe.

2. Luvuista

Sn = (summa k käy yhdesta n:ään) 1/k^3

tiedetään, että kahdeksan desimaalin tarkkuudella

S4 ~ 1.17766204

S5 ~ 1.18566204

S6 ~ 1.19029167

Laskematta muita osasummia kehitä ekstrapoloimalla mahdollisimman tarkka approksimaatio raja-arvolle

lim (n lähestyy ääretöntä) Sn

Käytä esim. Nevillen algoritmia.

3. Olkoon f(x) = x^2. Hae sellainen 1. asteen polynorni P(x) että

(integraali 0:sta 1:een) ( f(x) - P(x) )^2 dx + M( f(0) - P(0) )^2 + M( f(1) - P(1) )^2

on mahdollisimman pieni (M >= 0 on parametri). Miten käy kun M-->ääretön. Jotta et sotkeutuisi, aloita normaalimuodosta!

4. Olkoon f: R -> R kaksi kertaa jatkuvasti derivoituva f(E) = 0 ja f '(E) erisuuri kuin 0. Osoita kiintopistelauseen avulla, että eräässä ympäristössä B = {x e R: | x-E | <= r} Newtonin iteraatio suppenee.

5. Integraali

(integraali 0:sta 1:een) x^0.1 cosx dx

lasketaan (paloittaisella) trapetsisäännöllä jakamalla integroimisväli n:ään yhtä suureen osaan. Näytä, että tehty virhe on vähintään 0.4n^(-1.1) kun n >= 10. Opastus: Arvioi virhe ensimmäisellä osavälillä ja huomaa, että funktio on integroimisvälillä ylöspäin kupera.